応用情報技術者試験 令和4年度 春期 午前 問2
全体集合 S 内に異なる部分集合 A と B があるとき、A̅∩B̅ に等しいものはどれか。ここで、A∪B は A と B の和集合、A∩B は A と B の積集合、A̅ は S における A の補集合、A－B は A から B を除いた差集合を表す。
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【正解】ア
差集合A̅－Bは、A̅に属する要素のうち、Bに属する要素を除いた集合です。集合の式で表すと、A̅－B＝A̅∩B̅となります。つまり、AにもBにも属さない要素だけが残るので、求める集合と一致します。要素xを使って考えても、「xがA̅に属し、かつBには属さない」という条件は、「xがAに属さず、かつBにも属さない」という条件になるため、同じ集合だと確認できます。
イの(A̅∪B̅)－(A∩B)は誤りです。ド・モルガンの法則から、A̅∪B̅はA∩Bの補集合です。この集合はもともとA∩Bと共通要素をもたないため、A∩Bを除いても変化せず、A̅∪B̅のままです。これは「AとBの少なくとも一方に属さない要素」の集合です。
ウの(S－A)∪(S－B)は誤りです。S－A＝A̅、S－B＝B̅なので、A̅∪B̅となります。これはA∩Bの補集合です。
エのS－(A∩B)も誤りです。これはA∩Bの補集合であり、ド・モルガンの法則によってA̅∪B̅に等しくなります。
【ポイント】 差集合はA－B＝A∩B̅と書き換えられます。 ド・モルガンの法則は、(A∪B)の補集合＝A̅∩B̅、(A∩B)の補集合＝A̅∪B̅です。 ベン図と併せて覚えると、和集合と積集合の取り違えを防げます。
出典：令和4年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問2
※ 解説は SkillStack 編集部が作成したものです。Web 表示のため、図表の配置や表記を一部改めています。
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