応用情報技術者試験 令和7年度 秋期 午前 問2
コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは、伝票データをためる待ち行列をもち、M/M/1の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間がT秒以上となるのは、システムの利用率が少なくとも何％以上となったときか。ここで、伝票データをためる待ち行列の特徴は次のとおりである。 ・伝票データは、ポアソン分布に従って到着する。 ・伝票データをためる数に制限はない。 ・1件の伝票データの処理時間は、平均T秒の指数分布に従う。
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【正解】イ
M/M/1モデルでは、到着率をλ、処理率をμとすると、システムの利用率ρはρ＝λ／μで表されます。1件の平均処理時間がT秒なので、1秒当たりの処理率はμ＝1／Tです。
待ち行列の中で処理開始までに待つ平均時間Wqは、Wq＝ρ／｛μ（1－ρ）｝です。ここにμ＝1／Tを代入すると、Wq＝ρT／（1－ρ）となります。平均待ち時間がT秒以上となる条件は、ρT／（1－ρ）≧Tです。Tは正なので両辺をTで割り、ρ／（1－ρ）≧1、すなわちρ≧1－ρとなります。したがって2ρ≧1、ρ≧0.5となり、利用率が50％以上になると平均待ち時間はT秒以上です。よって、イが正解です。
アの33％は誤りです。このときWq＝0.33T／0.67≒0.49Tであり、T秒に達しません。
ウの67％は誤りです。このときWq≒2.03Tとなるので条件自体は満たしますが、待ち時間がT以上になり始める境界は50％であり、求める最小の利用率ではありません。
エの80％も誤りです。このときWq＝4Tで条件を満たしますが、やはり境界値ではありません。
【ポイント】 M/M/1では、利用率ρを1未満に保つ必要があり、1に近づくほど平均待ち時間が急増します。 平均処理時間と、処理開始までの平均待ち時間を混同しないようにしてください。
出典：令和7年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問2
※ 解説は SkillStack 編集部が作成したものです。Web 表示のため、図表の配置や表記を一部改めています。
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